美好的數字 -- 黃金分割數

古博升
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  • 一年級, 二年級
  • 專題報導
    活動優先
    學習歷程
  • 每周 1 節
  • 課程時數 : 1小時
學習領域/科目別 數學, 藝術生活
核心素養
A 自主行動 / A3規劃執行與創新應變
B 溝通互動 / B2科技資訊與媒體素養 B3藝術涵養與美感素養
C 社會參與 /
19項議題融入
課程規劃緣由
數學課中,最常聽到學生問老師的問題就是"學這個以後能用在哪裡?"的確,我們知道課綱內很多數學公式以後很有可能用不到,但我們不該否定其價值。
如果我們能把所教內容跟生活結合呢?儘管不一定是會用得上的東西,有些課程還是可以訓練學生的連結力與鑑賞力;生活中能看見的建築物、藝術作品裡面隱藏著可能沒有發掘的數學意義,甚至連拍照的構圖都可以用數學解釋,對學生來說可是很奇妙的事情,因此此課程便應運而生。
教學方法或策略
本教學活動主要圍繞著「黃金比例1.618」,配合數學故事介紹費氏數列與其相關的黃金比例,過程中導入生活中可見的建築、藝術作品,讓學生能領略數學跟其他領域的結合是如何呈現,以及人體上的部位若能符合黃金比例,有可能會更吸睛。最後透過摺紙活動,找出正五邊形的線段比呈現的黃金比例。期望透過觀察、實作與討論,使學生瞭解並發現日常生活中存在的黃金比例現象,甚至是其他數學與美學的結合。
學習目標
簡易計算機使用、藝術鑑賞能力、黃金比例的數學性質
規劃內容 授課計畫表下載
第一節
單元主題 :
美好的數字 --- 黃金分割數
內容綱要/教學重點 :
藉由不同面向的作品,讓學生認識黃金比例在各方面的應用,並透過相關活動,讓學生能發覺原來黃金比例這麼唾手可得。
教材附件下載
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教案內容



壹、活動一 選出最美的矩形

請學生用一點點時間選出覺得最好看的矩形,接著可以開放表決,會有幾個是特別高票。(教學提示:應該會包括最右下角那個,那是社會實驗得出來票數最多的)。


 

貳、費氏數列

一、說明「兔子問題」,並引入費氏數列。
二、介紹費氏數列的遞迴式,01開始,之後的費波那契數就由之前的兩數相加。

費波那契數列(Fibonacci Sequence): 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…


參、活動二 計算費氏數列前後項比

請學生拿出計算機算出數列前後項之比:

1/1=1
2/1=2
3/2=1.5
5/3=1.666…
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.6153846…
34/21=1.6190476…
55/34=1.617647…
89/55=1.6181818…
144/89=1.6179775…
233/144=1.6180555…

 

連按兩下置入圖片

費氏數列前後項比圖

如果將這些比值畫在座標平面上,
會呈現如左圖的樣子,
很明顯,除了前幾項跳動比較大之外,
後面會趨近於一個值1.618,
此數即稱為黃金數Φ(讀作phi),
順便讓學生欣賞這些比值以連分數寫成的式子。


肆、黃金比例/黃金數

連按兩下置入圖片

藉由黃金矩形,證明黃金比例的來由:



   



此段落的結尾可說明黃金比例在生活中各個領域的應用,
最常見的有建築、藝術、自然界中,常常可以在裡面發現其蹤跡。

 

伍、黃金比例的應用

一、介紹黃金比例(黃金矩形、黃金螺旋)在各領域的應用,由介紹攝影手法開始:以符合黃金矩形的方式構圖,可以讓照片看起來更和諧。

二、接著介紹人體中可能呈現黃金比例的地方,人體的黃金比例可能有很多,可以請學生互相測量、找出並發表,這邊舉四個例子:

1. 肚臍到頭頂/肚臍到腳底
2. 頭頂到頸/頸到肚臍
3. 肚臍到膝蓋/膝蓋到腳底
4. 腰寬/肩寬

三、最後舉幾個建築、藝術界有名的黃金比例作品

1. 黃金比例螺旋 [提醒學生觀察其中各正方形的邊長,會呈現費氏數列]
2. 帕德嫩神廟 [建築結構中的黃金比,圖中有多個黃金矩形]
3. 蒙娜麗莎的微笑 [教師可補充畫中其他黃金比例,有很多個,亦可介紹此畫的歷史背景]
4. 金字塔的高和底部邊長之比


陸、活動三 正五邊形摺紙

一、正五邊形摺紙

折法請參閱”參考資料”連結

二、測量正五邊形線段的黃金比


  1.在正五邊形紙上畫出所有對角線
  2.如下圖標示七個頂點
  3.拿尺測量各線段,並找出呈現黃金比例的線段(可利用計算機)


三、測量結果:

AD = 14.6 cm
AE = 9.1 cm
AQ = 5.6 cm
PQ = 3.5 cm
QE = 5.6 cm
QD = 9.1 cm
BE = 14.6 cm

四、可以找到呈現黃金比例的的線段有:(僅列舉部分)

1.AC : AB
2.AP : PQ
3.AE : AQ
4.CP : AP …


 

教學心得

筆者曾在教學現場進行過此單元的教授,當時目標為可放入108新課綱中「學習歷程」的檔案,因此設計了實作的部分,也增加了與學生互動的內容比例,期望他們可以開啟跨領域的數學學習興趣,唯前半堂課程仍屬數學的部分,教師需要更多力氣來維持學生的學習動機。

教學活動總共有三個部分(不計入測量身體黃金比例這項,因為實際上課時沒有時間進行),教師可自行決定各活動是否要進行與所需時間,教案所列時間僅供參考,基本上都是最少需使用的時間。而最後的摺紙部分可能較為耗時,因為要等每位學生都跟上動作其實比想像中費時,這邊可以請有跟上的學生指導進度較慢的同學,會讓整個過程更為順暢。

最後,學習單上所列舉的例子只是鳳毛麟角,黃金比例的應用橫跨非常多的領域,教師可以選自己有興趣的例子進行教學,或是再深入補充,甚至現場以黃金比例進行創作,期望將來可以看到更多老師改良後的教案,讓數學教學更具變化。

參考資料:

1.黃金比例設計訣竅 | 向和諧致敬,黃金比例的終極指南

https://www.shutterstock.com/zh-Hant/blog/what-is-the-golden-ratio

2.「黃金比例」 在日常生活中的應用

http://scimonth.blogspot.com/2018/05/blog-post_65.html

3.正五邊形摺紙方法:

https://www.youtube.com/watch?v=u02PGRffHUg (從50秒開始)

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數理化 、藝術
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